ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Interferenz (Physik)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Interferenz (Physik)</span></h1>

</header>

</div>

<p><b>Interferenz</b> (<span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a></span> <span lang="la-Latn" style="font-style:italic">inter</span> <span lang="de" style="font-style:normal;font-weight:normal">‚zwischen‘</span> und <i><span lang="la">ferire</span></i> über <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Altfranz%C3%B6sische_Sprache" title="Altfranzösische Sprache">altfranzösisch</a></span> <span lang="fro-Latn" style="font-style:italic">s’entreferir</span> <span lang="de" style="font-style:normal;font-weight:normal">‚sich gegenseitig schlagen‘</span>)<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> beschreibt die Änderung der <a href="Amplitude" title="Amplitude">Amplitude</a> bei der Überlagerung von zwei oder mehr <a href="Welle" title="Welle">Wellen</a> nach dem <a href="Superposition_(Physik)" title="Superposition (Physik)">Superpositionsprinzip</a> – also die vorzeichenrichtige Addition ihrer <a href="Auslenkung" title="Auslenkung">Auslenkungen</a> (nicht der <a href="Intensit%C3%A4t_(Physik)" title="Intensität (Physik)">Intensitäten</a>) während ihrer Überlagerung. Interferenz tritt bei allen Arten von Wellen auf, also bei <a href="Schall" title="Schall">Schall</a>-, <a href="Licht" title="Licht">Licht</a>-, <a href="Materiewelle" title="Materiewelle">Materiewellen</a> usw.

</p><p>An Orten, wo sich die Wellen dabei gegenseitig auslöschen, herrscht <b>destruktive Interferenz</b>. An Orten, wo sie sich verstärken, herrscht <b>konstruktive Interferenz</b>. Ein Zeichen für das Auftreten von Interferenz zweier Wellenfelder sind abwechselnde <b>(Interferenz-)Maxima</b> und <b>-Minima</b> der Intensität, wo jedes Wellenfeld für sich eine gleichmäßige Intensität hatte. Diese Folge von konstruktiver und destruktiver Interferenz wird als <b>Interferenzmuster</b> bezeichnet. Ein bekanntes Beispiel sind die hellen bzw. dunklen Streifen beim <a href="Doppelspaltversuch" class="mw-redirect" title="Doppelspaltversuch">Doppelspaltversuch</a>. Das Auftreten von Interferenz im physikalischen Experiment gilt als Nachweis für die Wellennatur der untersuchten Strahlung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grundlagen_und_Voraussetzungen">Grundlagen und Voraussetzungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kohärenz"><span id="Koh.C3.A4renz"></span>Kohärenz</h3></div>

<p>Das Wellenfeld, das aus der Interferenz zweier oder mehrerer Wellen entsteht, kann nur dann zeitlich stabil sein, wenn diese Wellen untereinander eine (zeitlich) feste Phasenbeziehung aufweisen. Man spricht dann von <a href="Koh%C3%A4renz_(Physik)" title="Kohärenz (Physik)">kohärenten</a> Wellen. Sind die Wellen nicht <a href="Monochromatisch" class="mw-redirect" title="Monochromatisch">monochromatisch</a>, bestehen also aus einer ganzen Reihe von Frequenzanteilen, so definiert man eine Kohärenzzeit, die beschreibt, wie die Wellen maximal gegeneinander verschoben sein dürfen, um noch ein stabiles Wellenfeld zu erzeugen. Diese Kohärenzzeit (oder die daraus abgeleitete <a href="Koh%C3%A4renzl%C3%A4nge" title="Kohärenzlänge">Kohärenzlänge</a>) ist ein wichtiges Maß für physikalische Lichtquellen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Destruktive_Interferenz">Destruktive Interferenz</h3></div>

<p>Zwei Wellen löschen sich gegenseitig völlig aus, wenn ihre Auslenkungen am betrachteten Ort und Zeitpunkt entgegengesetzt gleich sind. Damit das an diesem Ort für längere Zeit so bleibt, müssen harmonische (d. h. sinusförmige) Wellen gleiche Frequenz haben und um eine halbe Schwingungsperiode bzw. eine halbe Wellenlänge gegeneinander versetzt sein (siehe <a href="Phasenverschiebung" title="Phasenverschiebung">Phasenverschiebung</a> bzw. <a href="Gangunterschied" title="Gangunterschied">Gangunterschied</a>). Bei <a href="Transversalwelle" title="Transversalwelle">Transversalwellen</a> (z. B. <a href="Licht" title="Licht">Licht</a>) müssen die Auslenkungen in derselben Ebene liegen, bei komplexen Wellen (z. B. quantenmechanische <a href="Wellenfunktion" title="Wellenfunktion">Wellenfunktion</a>) muss die komplexe Phase der <a href="Amplitude" title="Amplitude">Amplitude</a> übereinstimmen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Polarisation">Polarisation</h3></div>

<p>Schallwellen in Festkörpern und <a href="Elektromagnetische_Welle" title="Elektromagnetische Welle">elektromagnetische Wellen</a> können <a href="Polarisation" title="Polarisation">polarisiert</a> sein. Untersuchungen zur Interferenz von polarisiertem Licht führten 1817 zu der Erkenntnis, dass es sich bei Lichtwellen um Transversalwellen handelt, siehe <a href="Fresnel-Arago-Gesetze" title="Fresnel-Arago-Gesetze">Fresnel-Arago-Gesetze</a>. Danach interferieren Wellen, wenn sie senkrecht zueinander polarisiert sind, nicht. Das gilt aber nur für die Beobachtung mit Detektoren, die wie die oben angeführten Beispiele lediglich die Intensität (proportional zum Betragsquadrat der Wellenamplitude des elektrischen Anteils der Welle) messen.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Darstellung">Mathematische Darstellung</h2></div>

<p>Eine Welle wird üblicherweise durch eine Funktion von Ort <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32adf004df5eb0a8c7fd8c0b6b7405183c5a5ef2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} }" loading="lazy"></span> und Zeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> geschrieben <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)\,.}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d508e138516f0037bc0f10a186530ae42c29485.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.406ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)\,.}" loading="lazy"></span> Dieses bringt zum Ausdruck, dass sich eine Welle sowohl im Raum als auch in der Zeit ausbreitet. Überlagern sich nun mehrere Wellen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} ,t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} ,t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/913a8d6c882c2a132c04d7b9bea64b6a38da52cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.033ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} ,t)}" loading="lazy"></span> an einem Ort <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x_{0}} \,,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x_{0}} \,,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2db240a8fc5145618538d78834be9d6685f53c48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.622ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x_{0}} \,,}" loading="lazy"></span> so lässt sich das Wellenfeld dort als Superposition (Summe) der einzelnen Wellen darstellen:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{\mathrm {ges} }(\mathbf {x_{0}} ,t)=\sum \limits _{i}f_{i}(\mathbf {x_{0}} ,t)\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/135d156d7cdbb7d2e823c3c5c5f3adfc4208a6b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.28ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle f_{\mathrm {ges} }(\mathbf {x_{0}} ,t)=\sum \limits _{i}f_{i}(\mathbf {x_{0}} ,t)\,}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Interferenz_zweier_Wellen_gleicher_Frequenz_und_Amplitude,_aber_unterschiedlicher_Phase"><span id="Interferenz_zweier_Wellen_gleicher_Frequenz_und_Amplitude.2C_aber_unterschiedlicher_Phase"></span>Interferenz zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude, aber unterschiedlicher Phase</h3></div>

<p>Die Überlagerung zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude lässt sich anhand der trigonometrischen <a href="Additionstheoreme_(Trigonometrie)" class="mw-redirect" title="Additionstheoreme (Trigonometrie)">Additionstheoreme</a> berechnen. Werden die beiden Wellen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5f77f85d018706dd0912d455fda2b35f6bfb5c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.842ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{1}(t)}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{2}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb959748afac624591e5ef3008d7c4e256758e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.842ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{2}(t)}" loading="lazy"></span> mit der gemeinsamen Frequenz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"></span>, der Amplitude <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> und den Phasen <i><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7daf493c8f6ef669c04c7b9715532fc35d12d60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.574ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{1}}" loading="lazy"></span></i> und <i><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c08631714273b6c8edaa9573ef3d8c548314a930.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.574ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{2}}" loading="lazy"></span></i> durch

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}(t)=a\cdot \sin(\omega \cdot t+\varphi _{1})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f10acc036b364d25fdbc0d42f34a485e82dbf671.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.894ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{1}(t)=a\cdot \sin(\omega \cdot t+\varphi _{1})}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{2}(t)=a\cdot \sin(\omega \cdot t+\varphi _{2})\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}(t)=a\cdot \sin(\omega \cdot t+\varphi _{2})\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72fe824b705e39f4f9d28184f7869af1aebbcf30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.281ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{2}(t)=a\cdot \sin(\omega \cdot t+\varphi _{2})\,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>beschrieben, so ergibt sich für die resultierende Überlagerung der Wellen

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}(t)+f_{2}(t)=a\left(\sin(\omega t+\varphi _{1})+\sin(\omega t+\varphi _{2})\right)=2a\cos \left({\frac {\varphi _{1}-\varphi _{2}}{2}}\right)\sin \left(\omega t+{\frac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eea395b8e6dd578d20454e0615e3b47a10e6b247.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:88.858ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f_{1}(t)+f_{2}(t)=a\left(\sin(\omega t+\varphi _{1})+\sin(\omega t+\varphi _{2})\right)=2a\cos \left({\frac {\varphi _{1}-\varphi _{2}}{2}}\right)\sin \left(\omega t+{\frac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}\right)\,}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>d. h., es entsteht eine Welle derselben Frequenz, deren Amplitude von der Differenz der Phasen der beiden ursprünglichen Wellen abhängt und deren Phase das Mittel der Phasen der ursprünglichen Wellen ist.

</p><p>Für gleiche Phasen der Wellen (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2644c145bd19634cf3e99575671683c1a6d399f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.247ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}" loading="lazy"></span>) wird der Cosinus Eins. Es ergibt sich eine Amplitude von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d325c24be7d760207674a169b078892bdd5cbc76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.392ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2a}" loading="lazy"></span>, d. h., die Amplitude verdoppelt sich gegenüber den Ausgangsamplituden, was konstruktiver Interferenz entspricht.

</p><p>Für eine Phasendifferenz von 180° (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}+\pi }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}+\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c60de10e8a805e8d74ef702b86c60c8e76a542e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.42ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}+\pi }" loading="lazy"></span>) wird der Cosinus Null, d. h., die resultierende Welle verschwindet. Dieses entspricht <i>destruktiver Interferenz</i>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Interferenz_zweier_Wellen_gleicher_Frequenz,_aber_unterschiedlicher_Amplitude_und_Phase"><span id="Interferenz_zweier_Wellen_gleicher_Frequenz.2C_aber_unterschiedlicher_Amplitude_und_Phase"></span>Interferenz zweier Wellen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude und Phase</h3></div>

<p>Für gleiche Frequenz der Wellen, aber unterschiedliche Amplituden und Phasen lässt sich die resultierende Welle mittels Zeigerarithmetik berechnen. Die beiden Wellen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{1}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{1}(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7dd3becdf915b9cd61c59f5481300f8d60cc1f90.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.812ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g_{1}(t)}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{2}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{2}(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbd693536d6d06a6666117f9b1681e54186a1e47.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.812ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g_{2}(t)}" loading="lazy"></span> besitzen die gemeinsame Frequenz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"></span>, die Amplituden <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbf42ecda092975c9c69dae84e16182ba5fe2e07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/270580da7333505d9b73697417d0543c43c98b9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{2}}" loading="lazy"></span> und die Phasen <i><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7daf493c8f6ef669c04c7b9715532fc35d12d60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.574ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{1}}" loading="lazy"></span></i> und <i><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c08631714273b6c8edaa9573ef3d8c548314a930.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.574ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{2}}" loading="lazy"></span></i>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{1}(t)=a_{1}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{1})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b55c2e8957cbaadf1de02656f29692145293e9e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.239ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g_{1}(t)=a_{1}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{1})}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{2}(t)=a_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{2})\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{2}(t)=a_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{2})\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0430b56f6c72f241d1d4bd0311062811054a2ae2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.626ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g_{2}(t)=a_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{2})\,}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Die resultierende Überlagerung der Wellen hat die Form:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{1}(t)+g_{2}(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi )\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb65ba78a233e79c43ad793e656cc08c2d3364c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.683ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g_{1}(t)+g_{2}(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi )\,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit der Amplitude:

</p>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}}\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85e461de0859801b11acb5366e147c5c9c907ae2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:36.829ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle A={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}}\,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und der Phase <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span>

</p>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a_{1}\sin(\varphi _{1})+a_{2}\sin(\varphi _{2})}{a_{1}\cos(\varphi _{1})+a_{2}\cos(\varphi _{2})}}\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afdcb519cb80de28a6e0cd267bb69bb6d84a6fc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:32.761ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a_{1}\sin(\varphi _{1})+a_{2}\sin(\varphi _{2})}{a_{1}\cos(\varphi _{1})+a_{2}\cos(\varphi _{2})}}\,}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Überlagerung_von_Kreiswellen"><span id=".C3.9Cberlagerung_von_Kreiswellen"></span>Überlagerung von Kreiswellen</h3></div>

<p>Die Abbildung 1 zeigt die Interferenz von zwei kreisförmigen Wellengruppen gleicher Wellenlänge und Amplitude. Die Kreuze markieren die Lage der Quellen, die bunten Kreise die <a href="Wellenfront" title="Wellenfront">Wellenfronten</a> der jeweiligen Teilwelle. An weißen Stellen tritt konstruktive Interferenz, in positiver Richtung, an schwarzen konstruktive Interferenz, in negativer Richtung, auf. In den grauen Bereichen befinden sich Intensitätsminima aufgrund von destruktiver Interferenz. Der Abbildung 2 ist zu entnehmen, dass die Minima und Maxima auf einer <a href="Hyperbel_(Mathematik)" title="Hyperbel (Mathematik)">Hyperbel</a>schar liegen, deren Brennpunkte die Quellorte der Wellen sind. Man spricht deshalb bei zwei Punktquellen von einer hyperbolischen Interferenz. Die Minima <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span>-ter Ordnung liegen dabei auf den Punkten, an denen eine Kreiswelle den zusätzlichen Weg <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta s=(n-0{,}5)\lambda }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta s=(n-0{,}5)\lambda }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa2c60396da12d1f742965a8c87b64fbaacf2225.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.496ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta s=(n-0{,}5)\lambda }" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \{1;2;3;\ldots \}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \{1;2;3;\ldots \}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3addfac67556cc30ec7544763f650bb643ba19f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.873ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n\in \{1;2;3;\ldots \}}" loading="lazy"></span> gegenüber der anderen Kreiswelle zurücklegt. Der <a href="Gangunterschied" title="Gangunterschied">Gangunterschied</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta s}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd7783a6d29d2ca4d9f1e0f501c4c6483fc058bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.026ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta s}" loading="lazy"></span> der zwei Wellen muss also ein <a href="Halbzahlig" title="Halbzahlig">halbzahliges</a> Vielfaches der Wellenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"></span> sein, damit destruktive Interferenz auftritt. Konstruktive Interferenz ist dort am stärksten, wo der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist.

</p><p>In der Abbildung 3 wird die Veränderung des Interferenzbildes in Abhängigkeit von der Wellenlänge (nimmt von oben nach unten zu) und in Abhängigkeit vom Abstand der Quellen (nimmt von links nach rechts zu) demonstriert. In den dunklen Bereichen (um die <i>Interferenzminima</i>) liegt <i>destruktive</i> und in den hellen <i>(Maxima)</i> <i>konstruktive Interferenz</i> vor.

</p>

<div class="gallerytext">Abbildung 1: Interferenz von zwei kreisförmigen Wellengruppen gleicher Wellenlänge und Amplitude (Simulation)</div>

</li>

<div class="gallerytext">Abbildung 2: Minima rot gestrichelt, Maxima in blau</div>

</li>

<div class="gallerytext">Abbildung 3: Interferenz zweier Kreiswellen. Die 16 Einzelbilder gelten für verschiedene Verhältnisse von Wellenlänge und Quellenabstand</div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bekannte_physikalische_Erscheinungen">Bekannte physikalische Erscheinungen</h2></div>

<p>Es gibt zahlreiche physikalische Erscheinungen, die auf der Interferenz von Wellen, meist elektromagnetischer Wellen (Licht), basieren. Im Folgenden sollen einige bekannte Beispiele aus verschiedenen Bereichen kurz beschrieben werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schwebung_und_stehende_Welle">Schwebung und stehende Welle</h3></div>

<p>Überlagert man zwei Wellen mit ungleichen, aber nahe beieinander liegenden Frequenzen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91ba9b02669b6a4569a4b4bd2159ffa91f459fdd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.203ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \nu _{1}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20157e640b69bcfc79a73194f1e80dbb456ab254.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.203ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \nu _{2}}" loading="lazy"></span>, so ergibt sich durch die <a href="Schwebung" title="Schwebung">Schwebung</a> ein Muster, wie es im unteren Graph in Abb. 3 gezeigt ist. Es bildet sich eine schnelle <a href="Schwingung" title="Schwingung">Oszillation</a> aus (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{\text{schnell}}={\tfrac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}\,,}">

<msub>

<mtext>schnell</mtext>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{\text{schnell}}={\tfrac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}\,,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b33fe92baba3909d5afae345ee5acd335fe89e6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:15.766ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \nu _{\text{schnell}}={\tfrac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}\,,}" loading="lazy"></span> in brauner Farbe), deren Amplitude sich mit einer langsamen Frequenz (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{\text{Schwebung}}={\tfrac {|\nu _{2}-\nu _{1}|}{2}}\,}">

<msub>

<mtext>Schwebung</mtext>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{\text{Schwebung}}={\tfrac {|\nu _{2}-\nu _{1}|}{2}}\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4402a58389d3baf82f107ebef622fc1a98a1449f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:19.221ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \nu _{\text{Schwebung}}={\tfrac {|\nu _{2}-\nu _{1}|}{2}}\,}" loading="lazy"></span>, blau) ändert. Betrachtet man Intensitäten mit einem Detektor, so ist zusätzlich noch eine zeitliche Mittelung über das Abtastintervall <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{f_{a}}}}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{f_{a}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07973752e905c985fba2b2d7f35c17b424cebe88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:2.512ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{f_{a}}}}" loading="lazy"></span> durchzuführen, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{a}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{a}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47ddf9e3ab3570a05bb023f8864f60fe564dbb31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.241ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{a}}" loading="lazy"></span> die Abtastfrequenz des Detektors ist.

</p><p>Für normale Lichtquellen und Frequenzen, die so weit auseinanderliegen, dass Schwebung praktisch keine Rolle spielt, ist das (zeitlich gemittelte) Interferenzmuster die Summe der Interferenzmuster der einzelnen Frequenzen. Das beruht darauf, dass die Interferenz zwischen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen – aufgrund des Fehlens einer festen Phasenbeziehung – in der zeitlichen Mittelung wegfällt.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Für dichromatisches Licht erhält man in diesem Fall:

</p>

<mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=\langle \left|{\vec {S}}(t)\right|\rangle _{t}=\langle c\,\varepsilon _{0}\left({\vec {E}}_{1}(t)+{\vec {E}}_{2}(t)\right)^{2}\rangle _{t}=I_{1}+I_{2}+\underbrace {\langle 2c\,\varepsilon _{0}{\vec {E}}_{1}(t){\vec {E}}_{2}(t)\rangle _{t}} _{=0},}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44667dabe7bfded7aad6b457f206ec1e045ff8ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:71.147ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle I=\langle \left|{\vec {S}}(t)\right|\rangle _{t}=\langle c\,\varepsilon _{0}\left({\vec {E}}_{1}(t)+{\vec {E}}_{2}(t)\right)^{2}\rangle _{t}=I_{1}+I_{2}+\underbrace {\langle 2c\,\varepsilon _{0}{\vec {E}}_{1}(t){\vec {E}}_{2}(t)\rangle _{t}} _{=0},}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {S}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {S}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c71a6b104c40975c738d5f0e22d445ebd509eb81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.538ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {S}}}" loading="lazy"></span> der <a href="Poynting-Vektor" title="Poynting-Vektor">Poynting-Vektor</a> ist.

</p><p>Zum Stimmen von Musikinstrumenten kann man die entsprechende Einstellung solange verändern, bis man zusammen mit einem Referenzton (bspw. aus einer <a href="Stimmgabel" title="Stimmgabel">Stimmgabel</a>) keine Schwebung mehr wahrnimmt. Die Vermessung von Schwebungssignalen kann auch zur Messung von ansonsten (für das Messgerät) zu hohen Frequenzen genutzt werden. Dazu ist allerdings eine Signalquelle notwendig, die Signale mit sehr stabiler und präziser Frequenz liefert.

</p><p>Die Interferenz zweier Wellen gleicher Wellenlänge, aber mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung führt zu einer <a href="Stehende_Welle" title="Stehende Welle">stehenden Welle</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Doppelspaltexperiment">Doppelspaltexperiment</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Doppelspaltexperiment" title="Doppelspaltexperiment">Doppelspaltexperiment</a></i></div>

<p>Mit dem Doppelspaltexperiment erbrachte <a href="Thomas_Young" title="Thomas Young">Thomas Young</a> 1802 erstmals Belege für die Wellennatur des Lichts. Bei diesem Versuch wird in dem Weg eines Lichtstrahls eine Blende mit einem Doppelspalt aufgestellt, wobei der Abstand der Spalte in der Größenordnung der Wellenlänge liegt. Dahinter befindet sich ein Schirm, auf dem sich bei genügend großem Abstand der Lichtquelle vom Schirm ein Interferenzmuster bildet. Ist nur ein Spalt offen und breit genug, so bildet sich das typische Beugungsmuster eines <a href="Einfachspalt" class="mw-redirect" title="Einfachspalt">Einfachspalts</a>. Analog lässt sich mit einem Elektronenstrahl der Wellencharakter von Elektronen zeigen, darauf wird im Abschnitt über <a href="#Interferenz_in_der_Quantenmechanik">Interferenz in der Quantenmechanik</a> (s. u.) näher eingegangen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Interferenzfarben">Interferenzfarben</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Interferenzfilter" title="Interferenzfilter">Interferenzfilter</a></i></div>

<p>Weißes Licht, welches an <a href="D%C3%BCnne_Schichten" title="Dünne Schichten">dünnen Schichten</a> optisch transparenter Materialien (wie z. B. einem Ölfilm auf Wasser, einer dünnen <a href="Oxid" class="mw-redirect" title="Oxid">Oxidschicht</a> auf Metallen, oder einfach <a href="Seifenblase" title="Seifenblase">Seifenblasen</a>) reflektiert wird, erscheint häufig farbig. Dabei interferiert das Licht, das an der oberen und unteren Grenzfläche der dünnen Schicht reflektiert wird. Richtungsabhängig wird dann das Licht einer bestimmten Wellenlänge ausgelöscht und es bleibt nur die <a href="Komplement%C3%A4rfarbe" title="Komplementärfarbe">Komplementärfarbe</a> zum ausgelöschten Licht übrig.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="gallerytext">Interferenzfarben durch eine Oxidschicht auf dem Metall <a href="Bismut" title="Bismut">Bismut</a></div>

</li>

<div class="gallerytext">Interferenzfarben in gebrochenem Eis</div>

</li>

<div class="gallerytext">Interferenzfarben in Nagellackschicht</div>

</li>

<div class="gallerytext">Interferenzfarben im Gefieder der Purpurkehlnymphe</div>

</li>

<div class="gallerytext">Schwarzer Edelopal mit vollem, opalisierendem Farbenspiel</div>

</li>

</ul>

<p>Ein bekanntes Beispiel für das Auftreten von Interferenzfarben an zwei eng benachbarten Oberflächen sind die <a href="Newtonsche_Ringe" title="Newtonsche Ringe">Newton-Ringe</a>.<sup id="cite_ref-EichlerKronfeldt2006_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-EichlerKronfeldt2006-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Hierbei liegt eine <a href="Sammellinse" title="Sammellinse">Sammellinse</a> mit langer <a href="Brennweite" title="Brennweite">Brennweite</a> auf einer ebenen Glasplatte auf. Um den Berührungspunkt herum entsteht zwischen den Glasoberflächen ein Spalt mit langsam nach außen hin zunehmender Dicke. Wird diese Anordnung mit <a href="Monochromatisches_Licht" title="Monochromatisches Licht">monochromatischem Licht</a> von oben beleuchtet, treten sowohl in <a href="Reflexion_(Physik)" title="Reflexion (Physik)">Reflexion</a> als auch in Durchsicht konzentrische helle und dunkle Ringe rund um den Berührungspunkt von Linse und Glasplatte auf. Wird die Versuchsanordnung mit weißem Licht ausgeleuchtet, dann entstehen farbige, konzentrische Ringe. Die Breite der Ringe und die Intensität ihrer Farben nimmt mit zunehmendem Radius ab.

</p><p>Die <a href="Irisieren" title="Irisieren">irisierenden</a> Farben der <a href="Opaleszenz" title="Opaleszenz">Opaleszenz</a> sind ebenfalls eine Folge von Interferenz. Dabei wird das Licht an kleinen Strukturen im Inneren des Materials <a href="Streuung_(Physik)" title="Streuung (Physik)">gestreut</a>. Die Farben vieler Schmetterlinge, einiger besonders prächtig schillernder Vögel oder des Edelsteins <a href="Opal" title="Opal">Opal</a> beruhen auf diesem Effekt. Sie werden daher auch <b>Strukturfarben</b> genannt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Weißlichtinterferenz"><span id="Wei.C3.9Flichtinterferenz"></span>Weißlichtinterferenz</h3></div>

<p>Die Überlagerung kontinuierlich variierender Wellenlänge und Amplitude (Spektrum) erzeugt ein Interferenzmuster nur innerhalb der <a href="Koh%C3%A4renzl%C3%A4nge" title="Kohärenzlänge">Kohärenzlänge</a>. In der <a href="Wei%C3%9Flichtinterferometer" class="mw-redirect" title="Weißlichtinterferometer">Weißlichtinterferometrie</a> wird dieses Verhalten ausgenutzt, um eine eindeutige Längenmessung zu erhalten. Ein weiteres Anwendungsbeispiel findet sich in der <a href="Optische_Koh%C3%A4renztomografie" class="mw-redirect" title="Optische Kohärenztomografie">Optischen Kohärenztomografie</a>, die dadurch dreidimensionale Strukturen erfassen kann.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Laser-Speckle">Laser-Speckle</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Speckle" title="Speckle">Speckle</a></i></div>

<p>Das Licht eines aufgeweiteten Laserstrahls weist eine nahezu perfekte <a href="Koh%C3%A4renz_(Physik)" title="Kohärenz (Physik)">Kohärenz</a> senkrecht zum Strahl auf. Dieses führt dazu, dass Laserlicht auch nach der Reflexion an unebenen Oberflächen noch interferenzfähig ist. Dann dient jeder Punkt der Fläche als Streuzentrum/Punktquelle einer sekundären <a href="Kugelwelle" title="Kugelwelle">Kugelwelle</a>. Eine <a href="Optische_Abbildung" title="Optische Abbildung">optische Abbildung</a> dieser Punktquellen überlagert im Bild das Licht, das einen Bildpunkt auf unterschiedlichen Wegen erreicht. Diese Überlagerung führt am Bildpunkt zu Interferenz. Deren Ergebnis ist abhängig von der genauen Lauflänge des Lichtes zwischen Punktquelle und Bildpunkt. Ein Weglängenunterschied in der Größe der halben Wellenlänge des Lichtes entscheidet über destruktive oder konstruktive Interferenz. Insgesamt ergibt sich ein zufällig verteiltes Punktmuster am Ort der Abbildung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen_in_der_Technik">Anwendungen in der Technik</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Antischall">Antischall</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Antischall" title="Antischall">Antischall</a></i></div>

<p>In der Akustik wird destruktive Interferenz zur Reduktion von störenden Geräuschen ausgenutzt, sogenannter Antischall. Dieses Prinzip kommt z. B. in <a href="Ger%C3%A4uschreduzierender_Kopfh%C3%B6rer" title="Geräuschreduzierender Kopfhörer">Kopfhörern mit aktiver Geräuschunterdrückung</a> zum Einsatz.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Interferometer">Interferometer</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Interferometer" class="mw-redirect" title="Interferometer">Interferometer</a></i></div>

<p>In der <a href="Messtechnik" title="Messtechnik">Messtechnik</a> werden Interferometer eingesetzt. Diese nutzen Interferenzerscheinungen zur Messung von Längen oder <a href="Phasenverschiebung" title="Phasenverschiebung">Phasenverschiebungen</a> mit sehr hoher Auflösung. Dazu wird ein (Licht-)Strahl in zwei kohärente Teile aufgespaltet, die später wieder überlagert werden. Die beiden Strahlen legen dabei unterschiedliche Strecken <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb8baad278d51283e0ef3c99898d583cf2c8a8fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.145ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{1}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{2}}">

<msub>

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</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4b9a7acc0ae8f54da4b7f4eef2c777d44faecd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.145ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{2}}" loading="lazy"></span> zurück. Unterscheiden diese sich um ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge, so erhält man am Ausgang des Interferometers konstruktive Interferenz. Unterscheiden sie sich um eine halbe Wellenlänge (Phasenverschiebung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \varphi =180^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \varphi =180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a465255391a9186baae830e8c74e3ae7e9f1eb48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.096ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \varphi =180^{\circ }}" loading="lazy"></span>), so erhält man destruktive Interferenz. Stellt man nun das Interferometer zunächst auf konstruktive Interferenz ein und führt dann eine zusätzliche Phasenverschiebung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29c0096b30b486f5212983acb4ec1e483540226a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.456ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta \varphi }" loading="lazy"></span> in einem der beiden Arme ein, so kann man diese über die Intensität am Ausgang des Interferometers bestimmen.

</p><p>Es gibt verschiedene Umsetzungen dieses Prinzips: <a href="Mach-Zehnder-Interferometer" title="Mach-Zehnder-Interferometer">Mach-Zehnder-Interferometer</a>, <a href="Michelson-Interferometer" title="Michelson-Interferometer">Michelson-Interferometer</a>, <a href="Sagnac-Interferometer" title="Sagnac-Interferometer">Sagnac-Interferometer</a>, <a href="Fabry-P%C3%A9rot-Interferometer" title="Fabry-Pérot-Interferometer">Fabry-Pérot-Interferometer</a> etc.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Funktechnik">Funktechnik</h3></div>

<p>Durch Phasenverschiebung zwischen den Antennenelementen einer <a href="Phased-Array-Antenne" title="Phased-Array-Antenne">Phased-Array-Antenne</a> kann die Beobachtungsrichtung sehr schnell umgeschaltet werden.

Die genaue Analyse der Phasenverschiebungen zwischen den Einzelantennen von <a href="Radioteleskop" title="Radioteleskop">Radioteleskopen</a> erlaubt es, die Richtung entfernter Strahlungsquellen außerordentlich exakt zu ermitteln.

Ein <a href="Antennendiagramm" title="Antennendiagramm">Antennendiagramm</a> zeigt die Strahlungscharakteristik von Einzelantennen oder Antennengruppen, deren Gestalt durch Interferenz festgelegt wird. Bei der <a href="Yagi-Uda-Antenne" title="Yagi-Uda-Antenne">Yagi-Uda-Antenne</a> wird auf diese Weise die Strahlungsenergie in eine schmale <a href="Richtcharakteristik" title="Richtcharakteristik">Vorwärtskeule</a> gebündelt, wodurch sich die gewünschte Richtwirkung ergibt.

</p><p>Im <a href="Duplexer#Balanced_Duplexer" title="Duplexer">Balanced Duplexer</a> wird bei hoher Sendeleistung eine <a href="Gasentladungsr%C3%B6hre" title="Gasentladungsröhre">Gasentladungsröhre</a> gezündet, die auf die Wellen fast wie ein Kurzschluss wirkt. Durch geschickte Energieverteilung auf zwei getrennte Zweige eines <a href="Hohlleiter" title="Hohlleiter">Hohlleiters</a> mit unterschiedlicher Phasenverschiebung und anschließendes Zusammenführen beider Anteile wird erreicht, dass die Sendeenergie zur <a href="Antennentechnik" class="mw-redirect" title="Antennentechnik">Antenne</a> fließt (konstruktive Interferenz) und nicht zum Empfänger (destruktive Interferenz).

</p><p>Ein <a href="Diplexer" title="Diplexer">Diplexer</a> ermöglicht durch destruktive bzw. konstruktive Interferenz in getrennten Zweigen einer Anordnung aus <a href="Hohlleiter" title="Hohlleiter">Hohlleitern</a>, dass zwei Funkgeräte unterschiedlicher Wellenlänge mit <i>einer</i> Antenne betrieben werden können. Auf ähnliche Weise wird in einem <a href="Ringkoppler" title="Ringkoppler">Ringkoppler</a> die Summe bzw. Differenz zweier gleichfrequenter Signale gebildet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Interferenz_in_der_Quantenmechanik">Interferenz in der Quantenmechanik</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anschauliche_Erklärung"><span id="Anschauliche_Erkl.C3.A4rung"></span>Anschauliche Erklärung</h3></div>

<p>In der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> spielen Interferenzphänomene eine entscheidende Rolle. Teilchen (und allgemeiner beliebige <a href="Zustand_(Quantenmechanik)" title="Zustand (Quantenmechanik)">Zustände</a> eines Systems) können durch <a href="Wellenfunktion" title="Wellenfunktion">Wellenfunktionen</a> beschrieben werden. Diese sind die Lösungen der <a href="Schr%C3%B6dingergleichung" title="Schrödingergleichung">Schrödingergleichung</a>, die eine Form ähnlich einer <a href="Wellengleichung" title="Wellengleichung">Wellengleichung</a> annehmen kann. Damit können sich Teilchen, also Materie, in der Quantenmechanik wie Wellen verhalten und auch interferieren (siehe auch <a href="Welle-Teilchen-Dualismus" title="Welle-Teilchen-Dualismus">Welle-Teilchen-Dualismus</a>, <a href="Materiewelle" title="Materiewelle">Materiewellen</a>). Ein bekanntes Beispiel ist etwa die Interferenz von <a href="Elektron" title="Elektron">Elektronen</a> in einem <a href="Doppelspaltexperiment" title="Doppelspaltexperiment">Doppelspaltexperiment</a><sup id="cite_ref-Tonomura1989_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-Tonomura1989-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (siehe die Bilder rechts) oder die Interferenz zweier <a href="Bose-Einstein-Kondensat" title="Bose-Einstein-Kondensat">Bose-Einstein-Kondensate</a>.

</p><p>Der Arbeitsgruppe von <a href="Anton_Zeilinger" title="Anton Zeilinger">Anton Zeilinger</a> ist es 1999 gelungen, ein Interferenzmuster von <a href="Fullerene" title="Fullerene">Fullerenen</a> (Molekülen aus 60 oder 70 <a href="Kohlenstoff" title="Kohlenstoff">Kohlenstoff</a>-Atomen) zu beobachten. Dieses sind bei weitem noch nicht die schwersten Teilchen, für die Quanteninterferenz beobachtet werden konnte.<sup id="cite_ref-Arndt1999_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-Arndt1999-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Die Forschungsgruppe um <a href="Markus_Arndt" title="Markus Arndt">Markus Arndt</a> konnte 2010 Quanteninterferenz mit Molekülen aus bis zu 430 Atomen und Massen bis fast 7000 <a href="Atomare_Masseneinheit" title="Atomare Masseneinheit">atomaren Masseneinheiten</a> (amu) zeigen.<sup id="cite_ref-Gerlich2010_9-0" class="reference"><a href="#cite_note-Gerlich2010-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Das größte Molekül, mit dem bis 2016 solche Beugungsbilder erzeugt werden konnten, ist Meso-tetra(pentafluorophenyl)porphyrin (TPPF20, C<sub>284</sub>H<sub>190</sub>F<sub>320</sub>N<sub>4</sub>S<sub>12</sub>) mit einer Molekülmasse von 10123 amu.<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Bemerkenswert an dieser Form von Interferenz ist auch, dass die Messung, <a href="Welcher-Weg%3F-Experiment" class="mw-redirect" title="Welcher-Weg?-Experiment">welchen Weg ein Quantenobjekt</a> gewählt hat, dazu führt, dass auch nur noch dieser „benutzt“ wird – also keine Interferenz auftritt. In einer Doppelspaltanordnung hängt das Interferenzmuster also davon ab, ob man herausfinden kann, welchen Weg (durch Spalt 1 oder Spalt 2) das Quantenobjekt nahm. Dies gilt auch, wenn der Weg des Quantenobjekts nicht schon beim Passieren der Spalte, sondern erst später festgestellt wird (<a href="Delayed-Choice-Experiment" title="Delayed-Choice-Experiment">Delayed-Choice-Experiment</a>). Nur wenn eine Gewinnung der „Welcher-Weg“-Information nie erfolgte oder sie durch einen <a href="Quantenradierer" title="Quantenradierer">Quantenradierer</a> wieder getilgt wurde, ergibt sich hinter dem Doppelspalt ein Interferenzbild.<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mathematische_Fassung">Mathematische Fassung</h3></div>

<p>In der <a href="Bra-Ket-Notation" class="mw-redirect" title="Bra-Ket-Notation">Bra-Ket-Notation</a> lässt sich ein beliebiger quantenmechanischer Zustand in einer orthonormierten Basis <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{|i\rangle \}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{|i\rangle \}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad970b113057ba1caf487166b10ad3440cfe17e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.679ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{|i\rangle \}}" loading="lazy"></span> (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{ij}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{ij}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/736111fc263c81855a75434f1da580d8060fe952.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.825ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{ij}}" loading="lazy"></span>) darstellen. Dabei sind die <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{i},b_{i}\in \mathbb {C} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i},b_{i}\in \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fd2fbdb6a50e7f0caaecaf6cf73b830eb26c459.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.156ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c_{i},b_{i}\in \mathbb {C} }" loading="lazy"></span> komplexe Koeffizienten:

</p>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle =\sum \limits _{i}c_{i}\cdot |i\rangle ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\phi \rangle =\sum \limits _{i}b_{i}\cdot |i\rangle \,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bd79f64a574a91969f26a0c504b404b78e51552.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:38.58ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle |\psi \rangle =\sum \limits _{i}c_{i}\cdot |i\rangle ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\phi \rangle =\sum \limits _{i}b_{i}\cdot |i\rangle \,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein System im Zustand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi \rangle }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.065ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }" loading="lazy"></span> bei der Messung den Zustand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi \rangle }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi \rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/312d43de853a9e6ca74888e63394fc8081f56a43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.937ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi \rangle }" loading="lazy"></span> ergibt lautet dann:

</p>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}(\psi \rightarrow \phi )=|\langle \psi |\phi \rangle |^{2}=\left|\sum \limits _{i}c_{i}^{\ast }b_{i}\right|^{2}=\sum \limits _{i,j}c_{i}^{\ast }c_{j}b_{i}^{\ast }b_{j}=\sum \limits _{i}|c_{i}|^{2}|b_{i}|^{2}+\sum \limits _{i\neq j}c_{i}^{\ast }c_{j}b_{i}^{\ast }b_{j}\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a0819c97441cff8dbaf24102622d92ef1c3f01f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:78.697ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}(\psi \rightarrow \phi )=|\langle \psi |\phi \rangle |^{2}=\left|\sum \limits _{i}c_{i}^{\ast }b_{i}\right|^{2}=\sum \limits _{i,j}c_{i}^{\ast }c_{j}b_{i}^{\ast }b_{j}=\sum \limits _{i}|c_{i}|^{2}|b_{i}|^{2}+\sum \limits _{i\neq j}c_{i}^{\ast }c_{j}b_{i}^{\ast }b_{j}\,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Wichtig ist hier, dass nicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Teilchen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (x)=|\langle x|\psi \rangle |^{2}}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (x)=|\langle x|\psi \rangle |^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/101b73714f4945c62fac16bbb1abd09536a5952d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.086ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \rho (x)=|\langle x|\psi \rangle |^{2}}" loading="lazy"></span> überlagert werden, sondern die (komplexen) Wellenfunktionen selbst. Würden die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten überlagert, so würde man in obiger Formel den hinteren Interferenzanteil verlieren und das Interferenzmuster verschwindet.

</p><p>De Broglie postulierte bereits Anfang des 20. Jahrhunderts, dass allen massiven Teilchen eine Wellenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda ={\tfrac {h}{p}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda ={\tfrac {h}{p}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/033783944088bcf7566120ec341dbb1a920688f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.237ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda ={\tfrac {h}{p}}}" loading="lazy"></span> zugeschrieben werden kann, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> der <a href="Impuls" title="Impuls">Impuls</a> des Teilchens ist und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"></span> die <a href="Planck-Konstante" title="Planck-Konstante">Planck-Konstante</a>. Mit dieser Wellenlänge kann man direkt die Wellenfunktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f({\vec {x}},t)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f({\vec {x}},t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4aca1de51a9bf7a133343ca72c6db43de2cbb671.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.291ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f({\vec {x}},t)}" loading="lazy"></span> für ein Teilchen konstruieren und so die Interferenzmuster mit den weiter oben für Licht beschriebenen Methoden berechnen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Fresnel-Arago-Gesetze" title="Fresnel-Arago-Gesetze">Fresnel-Arago-Gesetze</a></li>

<li><a href="Antireflexbeschichtung" title="Antireflexbeschichtung">Antireflexbeschichtung</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard P. Feynman</a>, Robert B.Leighton, Mattew Sands: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic"><a href="Feynman-Vorlesungen_%C3%BCber_Physik" title="Feynman-Vorlesungen über Physik">The Feynman Lectures on Physics</a></cite>. 2. Auflage. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1</span>. Addison-Wesley, Reading Massachusetts 1966, 29 Interference (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_29.html">caltech.edu</a> [abgerufen am 8. März 2025]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Interferenz+%28Physik%29&rft.atitle=29+Interference&rft.au=Richard+P.+Feynman%2C+Robert+B.Leighton%2C+Mattew+Sands&rft.btitle=The+Feynman+Lectures+on+Physics&rft.date=1966&rft.edition=2&rft.genre=bookitem&rft.place=Reading+Massachusetts&rft.pub=Addison-Wesley&rft.volume=1" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Claude_Cohen-Tannoudji" title="Claude Cohen-Tannoudji">Claude Cohen-Tannoudji</a>, Bernard Diu, Franck Laloë, Joachim Streubel, Jochen Balla: <cite style="font-style:italic">Quantenmechanik</cite>. 3. Auflage. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1</span>. Walter de Gruyter, Berlin/New York 2007, ISBN 978-3-11-019324-4.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Interferenz+%28Physik%29&rft.au=Claude+Cohen-Tannoudji%2C+Bernard+Diu%2C+Franck+Lalo%C3%AB%2C+...&rft.btitle=Quantenmechanik&rft.date=2007&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=9783110193244&rft.place=Berlin%2FNew+York&rft.pub=Walter+de+Gruyter&rft.volume=1" style="display:none"> </span></li>

<li>Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloe: <cite style="font-style:italic">Quantenmechanik</cite>. 3. Auflage. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>2</span>. Walter de Gruyter, Berlin/New York 2008, ISBN 978-3-11-020149-9.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Interferenz+%28Physik%29&rft.au=Claude+Cohen-Tannoudji%2C+Bernard+Diu%2C+Franck+Laloe&rft.btitle=Quantenmechanik&rft.date=2008&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=9783110201499&rft.place=Berlin%2FNew+York&rft.pub=Walter+de+Gruyter&rft.volume=2" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Interference?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Interferenz</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.walter-fendt.de/html5/phde/interference_de.htm">Interaktive Animation zur Interferenz von Kreiswellen</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160330052608/https://www.gfai.de/~heinz/historic/pressinf/bilder_d.htm">Simulationen mit Zeitfunktionen</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.raacke.de/airy.html">Online-Rechner für Interferenzfarben an dünnen Schichten</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.quantumlab.de/">Interferenz von einzelnen Photonen im Interferometer mit Quantenradierer</a> (QuantumLab)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.leifiphysik.de/optik/beugung-und-interferenz">Beugung und Interferenz</a> (<a href="LEIFI" class="mw-redirect" title="LEIFI">LEIFI</a>)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://gerdbreitenbach.de/lissajous/lissajous_de.html">Simulation zu Interferenz zweier stehender Wellen</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=qZgKjZC1uqY">Animierter Film zur Farbe von Seifenblasen (englisch)</a></li>

<li>Video: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://av.tib.eu/media/10885">Erzeugung und Überlagerung kohärenter Wellen zu Interferenzstrukturen</a></i>. <a href="IWF_Wissen_und_Medien" title="IWF Wissen und Medien">Institut für den Wissenschaftlichen Film</a> (IWF) 2004, zur Verfügung gestellt von der <a href="Technische_Informationsbibliothek" class="mw-redirect" title="Technische Informationsbibliothek">Technischen Informationsbibliothek</a> (TIB), <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.3203/IWF%2FC-14880">10.3203/IWF/C-14880</a></span>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">R. E. Allen, H. W. Fowler, F. G. Fowler: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">The Concise Oxford dictionary of current English.</cite> Clarendon Press/Oxford University Press, Oxford/New York 1990, ISBN 0-19-861200-1 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Interferenz+%28Physik%29&rft.au=R.+E.+Allen%2C+H.+W.+Fowler%2C+F.+G.+Fowler&rft.btitle=The+Concise+Oxford+dictionary+of+current+English.&rft.date=1990&rft.genre=book&rft.isbn=0198612001&rft.place=Oxford%2FNew+York&rft.pub=Clarendon+Press%2FOxford+University+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">B. M. Rodríguez-Lara, I. Ricardez-Vargas: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Interference with polarized light beams: Generation of spatially varying polarization</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">American Journal of Physics</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>77</span>, 2009, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1135–1143</span>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/0904.0204">0904.0204</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Interferenz+%28Physik%29&rft.atitle=Interference+with+polarized+light+beams%3A+Generation+of+spatially+varying+polarization&rft.au=B.+M.+Rodr%C3%ADguez-Lara%2C+I.+Ricardez-Vargas&rft.btitle=American+Journal+of+Physics&rft.date=2009&rft.genre=book&rft.pages=1135-1143&rft.volume=77" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Wolfgang_Demtr%C3%B6der" title="Wolfgang Demtröder">Wolfgang Demtröder</a>: <cite style="font-style:italic">Experimentalphysik 3. Atome, Moleküle und Festkörper</cite>. 4. Auflage. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-03911-9, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>366</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=DFEzhuWhoTsC&pg=PA366#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Interferenz+%28Physik%29&rft.au=Wolfgang+Demtr%C3%B6der&rft.btitle=Experimentalphysik+3.+Atome%2C+Molek%C3%BCle+und+Festk%C3%B6rper&rft.date=2010&rft.edition=4.&rft.genre=book&rft.isbn=9783642039119&rft.pages=366&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Helmut Lindner, Wolfgang Siebke (Bearb.): <i>Physik für Ingenieure.</i> Fachbuchverl. Leipzig im Carl-Hanser-Verl., München/Wien 2006, ISBN 978-3-446-40609-4, S. 389.</span>

</li>

<li id="cite_note-EichlerKronfeldt2006-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-EichlerKronfeldt2006_5-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Hans_Joachim_Eichler" title="Hans Joachim Eichler">Hans Joachim Eichler</a>, <a href="Heinz-Detlef_Kronfeldt" title="Heinz-Detlef Kronfeldt">Heinz-Detlef Kronfeldt</a>, Jürgen Sahm: <cite style="font-style:italic">Das Neue Physikalische Grundpraktikum</cite>. Springer, 2006, ISBN 3-540-21453-4, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>409<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>ff</span>. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=DCKwsVnwkoIC&pg=PA409#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Interferenz+%28Physik%29&rft.au=Hans+Joachim+Eichler%2C+Heinz-Detlef+Kronfeldt%2C+J%C3%BCrgen+Sahm&rft.btitle=Das+Neue+Physikalische+Grundpraktikum&rft.date=2006&rft.genre=book&rft.isbn=3540214534&rft.pages=409+ff.&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-Tonomura1989-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Tonomura1989_6-0">↑</a></span> <span class="reference-text">A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki, H. Ezawa: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Demonstration of single‐electron buildup of an interference pattern</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">American Journal of Physics</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>57</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>2</span>, 1. Februar 1989, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>117–120</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1119/1.16104">10.1119/1.16104</a></span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Interferenz+%28Physik%29&rft.atitle=Demonstration+of+single%E2%80%90electron+buildup+of+an+interference+pattern&rft.au=A.+Tonomura%2C+J.+Endo%2C+T.+Matsuda%2C+...&rft.date=1989-02-01&rft.doi=10.1119%2F1.16104&rft.genre=journal&rft.issue=2&rft.jtitle=American+Journal+of+Physics&rft.pages=117-120&rft.volume=57" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-Arndt1999-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Arndt1999_7-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Markus Arndt, Olaf Nairz, Julian Vos-Andreae, Claudia Keller, Gerbrand van der Zouw, Anton Zeilinger: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Wave–particle duality of C<sub>60</sub> molecules</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Nature</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>401</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>6754</span>, 14. Oktober 1999, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>680–682</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1038/44348">10.1038/44348</a></span> (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.atomwave.org/rmparticle/ao%20refs/aifm%20pdfs%20by%20group%20leaders/arndt%20pdfs/ANV99%20C60%20duality.pdf">atomwave.org</a> [PDF; abgerufen am 18. Mai 2014]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Interferenz+%28Physik%29&rft.atitle=Wave-particle+duality+of+C60+molecules&rft.au=Markus+Arndt%2C+Olaf+Nairz%2C+Julian+Vos-Andreae%2C+...&rft.date=1999-10-14&rft.doi=10.1038%2F44348&rft.genre=journal&rft.issue=6754&rft.jtitle=Nature&rft.pages=680-682&rft.volume=401" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">Björn Brezger, Lucia Hackermüller, Stefan Uttenthaler, Julia Petschinka, Markus Arndt, Anton Zeilinger: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Matter-Wave Interferometer for Large Molecules</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Physical Review Letters</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>88</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>10</span>, 26. Februar 2002, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>100404</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.88.100404">10.1103/PhysRevLett.88.100404</a></span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Interferenz+%28Physik%29&rft.atitle=Matter-Wave+Interferometer+for+Large+Molecules&rft.au=Bj%C3%B6rn+Brezger%2C+Lucia+Hackerm%C3%BCller%2C+Stefan+Uttenthaler%2C+...&rft.date=2002-02-26&rft.doi=10.1103%2FPhysRevLett.88.100404&rft.genre=journal&rft.issue=10&rft.jtitle=Physical+Review+Letters&rft.pages=100404&rft.volume=88" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-Gerlich2010-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Gerlich2010_9-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Stefan Gerlich, Sandra Eibenberger, Mathias Tomandl, Stefan Nimmrichter, <a href="Klaus_Hornberger" title="Klaus Hornberger">Klaus Hornberger</a>, Paul J. Fagan, Jens Tüxen, Marcel Mayor, Markus Arndt: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Quantum interference of large organic molecules</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Nature Communications</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>2</span>, 263, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1038/ncomms1263">10.1038/ncomms1263</a></span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Interferenz+%28Physik%29&rft.atitle=Quantum+interference+of+large+organic+molecules&rft.au=Stefan+Gerlich%2C+Sandra+Eibenberger%2C+Mathias+Tomandl%2C+...&rft.doi=10.1038%2Fncomms1263&rft.genre=journal&rft.jtitle=Nature+Communications&rft.volume=2" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text">Christian Brand, Sandra Eibenberger, Ugur Sezer, Markus Arndt: <cite style="font-style:italic">Matter-wave physics with nanoparticles and biomolecules</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Les Houches Summer School, Session CVII–Current Trends in Atomic Physics</cite>. 2016, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>13</span>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1703.02129">1703.02129</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Interferenz+%28Physik%29&rft.atitle=Matter-wave+physics+with+nanoparticles+and+biomolecules&rft.au=Christian+Brand%2C+Sandra+Eibenberger%2C+Ugur+Sezer%2C+...&rft.btitle=Les+Houches+Summer+School%2C+Session+CVII-Current+Trends+in+Atomic+Physics&rft.date=2016&rft.genre=book&rft.pages=13" style="display:none"> </span><span class="error" style="display:none"><b>Fehler in Vorlage:Literatur</b> – <span class="Zitationsfehler Zitationswartung" style="display:none">*** Parameterproblem: Dateiformat/Größe/Abruf nur bei externem Link</span></span></span>

</li>

<li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text">Michael Springer: <cite style="font-style:italic">Welle oder Teilchen – ein Test mit dem Quantenradierer</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="Spektrum_der_Wissenschaft" title="Spektrum der Wissenschaft">Spektrum der Wissenschaft</a></cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1</span>. Spektrum der Wissenschaft Akademischer Verlag, 1996.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Interferenz+%28Physik%29&rft.atitle=Welle+oder+Teilchen+-+ein+Test+mit+dem+Quantenradierer&rft.au=Michael+Springer&rft.btitle=Spektrum+der+Wissenschaft&rft.date=1996&rft.genre=book&rft.pub=Spektrum+der+Wissenschaft+Akademischer+Verlag&rft.volume=1" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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